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Angles : convertir degrés, radians, grades, tours
180° = π rad = 200 gr = 0,5 tour. Le radian est l'unité SI des angles. Formules, tableau et explications des 4 conventions courantes.
Un angle plan se mesure en degrés (usage courant), radians (mathématiques, physique), grades (topographie) ou tours (mécanique). L'unité SI est le radian.
Définitions
- Degré (°) : 1/360 d'un tour complet. Hérité de Babylone (base 60).
- Radian (rad) : angle interceptant un arc de longueur égale au rayon. Un tour = 2π rad.
- Grade (gon) : 1/400 d'un tour. Introduit en 1793 pour simplifier les calculs (angle droit = 100 gr).
- Tour : 1 tour complet = révolution.
Formules
- degrés → radians :
rad = deg × π / 180 - radians → degrés :
deg = rad × 180 / π - degrés → grades :
gr = deg × 10 / 9 - grades → radians :
rad = gr × π / 200
Tableau de référence
| Degrés | Radians | Grades | Tour |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 gr | 0 |
| 30° | π/6 | 33,33 gr | 0,0833 |
| 45° | π/4 | 50 gr | 0,125 |
| 60° | π/3 | 66,67 gr | 0,1667 |
| 90° | π/2 | 100 gr | 0,25 |
| 180° | π | 200 gr | 0,5 |
| 270° | 3π/2 | 300 gr | 0,75 |
| 360° | 2π | 400 gr | 1 |
Pourquoi le radian en mathématiques ?
En analyse, les formules sont plus simples en radians : sin'(x) = cos(x) uniquement si x est en radians. De même, la longueur d'arc L = r × θ n'est valable qu'en radians.
Quand utilise-t-on les grades ?
Surtout en topographie française et géodésie. Pratique car l'angle droit vaut 100 gr et la circonférence 400 gr — multiples de 10 cohérents avec le système décimal.